用生活中通俗易懂的语言描述微积分为：
微分：圆角的桌角的局部放大后近似于平直的，于是膝盖撞上去不会很痛；
积分：土豆的体积近似等于其切出来的土豆条按照长方体计算的体积之和，土豆条切的越细，越准确。
更具体的描述如下：
微积分分为微分和积分两部分，首先，我们来讨论什么是微分？
考虑下面的两个曲线，
某些生活经验告诉我们，两个曲线在A点处的特性不同：
蓝色曲线A点处是圆润的；
绿色曲线A点处是棱角的；
进一步，我们在两个曲线A点处用直尺画一条直线，然后放大A点附近的局部：
观察发现，随着局部的不断放大，两种特性的差异表现明显，在A点处圆润的蓝色曲线和直线越来越贴近，而A点处棱角的绿色曲线则和直线毫不相干。
蓝色曲线在A点处的表现，就是微分，具体的数学描述如下：
设蓝色曲线的对应的函数是f，A点的坐标是)，则可以再A处做一个局部坐标X'AY'：
局部坐标X'AY'下，蓝色曲线的函数为：
Δf=f-f①
称其为函数f在A点处的变化率，而直线的函数为：
l=kΔx②
其中k为常数，表示直线的斜率。
根据，上面的分析，我们知道随着Δx的减小，Δf和l越来越贴近，也就是说，它们的差Δf-l也会越来越小。那么具体，如果描述这种贴近呢？
很自然我们会想到：
当Δx趋近于0时，Δf-l也趋近于0。③
但是，这用来描述贴近，显然不够，因为考虑绿色曲线，
发现Δf-l=Δx,也满足当Δx趋近于0时，Δf-l也趋近于0，但显然它们不贴近。于是我们对上面的描述，进行调整：
当Δx趋近于0时，-l)/Δx也趋近于0③‘
这样，对于绿色曲线-l)/Δx=显然是非零常数，就被排除了。
令o=Δf-l称为Δx的高阶无穷小量，并将，③‘写成极限形式为：
于是最终得到：
这个公式就是函数f在A点处的微分。
由④,①和②有：
等式两边取极限，再根据③'得到：
令，
称f'为f在A处的导数，当A点取满f的整个定义域时，称f'为f的导函数，f为f'的原函数。
至此，微分就讨论完毕，接着，我们讨论什么是积分？
积分又分为：不定积分和定积分，先说不定积分。
设f是函数F的导函数，即，f=F'，现在已知f求原函数F，令，
称为不定积分。
也就是说，不定积分，就是求导的逆运算。
然后是，定积分也称为黎曼积分，我们看一则故事：
自从阿基米德发明排水法后，测量不规则物体的体积已经不是问题。有一天，阿基米德去餐馆吃午餐结果忘了带钱，刚好老板也是一个数学爱好者，于是老板对阿基米德说：“如果阿基米德先生可以只用带刻度的直尺测量出土豆的体积，这一顿就免费”。阿基米德最近正在用割圆法计算圆周率，于是很快找到了解决问题的方法：
只见他，迅速用直尺的将土豆切成土豆条，然后将每个土豆条近似当做长方体，用直尺量出其长宽高，进而计算出每个土豆条的近似体积，最后将所有土豆条的体积加起来就是整个土豆的体积。
餐馆老板，提出质疑，认为将土豆条近似的当做长方体，不准确。阿基米德，反问到：
如果，我将每个土豆条在改刀成更细的土豆条，是不是就更精确了？
餐馆老板，想了一想，土豆条不准确，就是因为两端是土豆的不规则表面，如果土豆条根细，那么规则表面的面积就会更小，误差就会更新。于是回答：是
阿基米德，接着解释：既然，将土豆条继续细分，就会得到更高的精度，那么无限细分下去，总可以得到准确的值。
餐馆老板虽然不得不承认这个结果，仍然不满意，他认为：这样无限细分下去，无法结束，因此最终还是得不到这个准确的值。
阿基米德，接着说：在现实中，当然不能，但是在数学中就可以了。
可是餐馆老板，依旧不买账，正当两人争执的不可开交时，旁边桌子上，一个年轻人站了起来，说：二位不要争论了，我愿意为这位阿基米德先生付钱。
于是，阿基米德吃完免费的吃午，回去继续计算他的圆周率去了。
而这个年轻人，也马上也返回了自己的住所，并按照阿基米德想法，用数学的方法对切土豆进行了描述，这就是：黎曼积分。这个年轻人就是黎曼。
最简单的黎曼积分可以用于计算函数f和X轴在区间[a,b]之间围成的曲边梯形面积，
我们在a和b之间插入一系列点：
a=x?
这样将一个大的曲边梯形Λ=ay?y_nb分割为一系列小的曲边梯形：
δ?,...δ_n
其中，任意小曲边梯形δ?=x???y???y?x?的面积近似于小矩形σ?=x???y’???y‘?x?的面积：
S?=fΔx?
这里，ξ?是x???和x?之间任意一点，Δx?=x?-x???。
于是Λ的面积S就近似为，这些小矩形的面积之和：
让，λ=max{Δx?,...,Δx_n}，则当λ→0时，S'→S，记为：
这就黎曼积分。
注意：黎曼积分还可以扩展为勒贝格积分，但是这牵扯测度论，比较复杂，不适合这里讨论。
最后，是著名的牛顿-莱布尼兹公式：
它将不定积分和定积分关联在一起。
诚如故事所述的那样，黎曼积分不仅可以用于计算曲边梯形面积，还可以计算三维物体的体积，当然还可以计算，更高维度物体的体积，曲线的质量，物体沿曲线做的功，另外，微分也还可以扩展到多维函数和向量函数的情况，这些内容属于《多元微积分》其基本原理和上面所述的《一元微积分》类似，这里就不展开讨论了。